Question

已知函数y＝（n+1）x^m+mx+1﹣n（m，n为实数）

（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；

（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：

①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；

②它一定经过哪个点？请说明理由．

Answer

（1）答案见解析 （2）①假命题，理由见解析。②一定经过点（1，4）和（﹣1，0），理由见解析

【解析】

认真审题，首先根据我们所学过的三类函数进行分析，并分类讨论，可得出第一题的答案，再根据二次函数的性质，进行分析可得出第二问的答案．

【解析】
(1)①当m＝1，n≠﹣2时，函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点，

∵当y＝0时，（n+1）xm+mx+1﹣n＝0，∴x＝，

∴函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；

②当m＝2，n≠﹣1时，函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）是二次函数，

当y＝0时，y＝（n+1）xm+mx+1﹣n＝0，

即：（n+1）x2+2x+1﹣n＝0，

△＝22﹣4（1+n）（1﹣n）＝4n2≥0；

∴函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；

③当n＝﹣1，m≠0时，函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n是一次函数，

当y＝0时，x＝，

∴函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；

(2)①假命题，若它是一个二次函数，

则m＝2，函数y＝（n+1）x2+2x+1﹣n，

∵n＞﹣1，∴n+1＞0，

抛物线开口向上，

对称轴：﹣＝-＝-＜0，

∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，

②当x＝1时，y＝n+1+2+1﹣n＝4．

当x＝﹣1时，y＝0．

∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．

故答案为：(1)当m＝1，n≠﹣2时，是一次函数，当m＝2，n≠﹣1时，是二次函数 ，当n＝﹣1，m≠0时，是一次函数，它们与x轴都有一个交点.(2)①假命题；②(1，4)和(﹣1，0).