Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=ax²+bx﹣a²关于y轴对称且有最小值﹣1．

（1）求抛物线C₁的解析式；

（2）在图1中抛物线C₁顶点为A，将抛物线C₁绕  点B旋转180°后得到抛物线C₂，直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M，若过定点M的直线与抛物线C₂只有一个公共点，求直线l的解析式．

（3）如图2，先将抛物线 C₁向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y=x平移得到抛物线C₃，设抛物线C₃与直线y=x交于C、D两点，求线段CD的长．

Answer

（1）y=x2﹣1（2）过定点M，共有三条直线l：x=2 或y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4，它们分别与抛物线C3只有一个公共点（3）

【解析】试题 根据抛物线的对称轴为轴，求得抛物线有最小值，可求得，即可求出抛物线的解析式.

依题意可求出抛物线的解析式为： 由直线总经过一定点M，可求得定点M为，①经过定点与轴平行的直线： 与抛物线总有一个公共点．②经过定点的直线为一次函数时，与联立方程组，利用可得得 的值，即可得出 或，综上所述，过定点M，共有三条直线它们分别与抛物线只有一个公共点．

设抛物线的顶点为，依题意可得抛物线的解析式为： 与直线联立，可得的坐标，过点C作∥轴，过点D作DM∥y轴，可求出 即可得出的值．

试题解析：（1）抛物线的对称轴为轴，

解得

抛物线的解析式为

当抛物线有最小值，即 解得： 或（舍去）．

抛物线的解析式

（2）抛物线的解析式

设抛物线与x轴的令一个交点为．

令得： 解得：

将抛物线绕点旋转后得到抛物线，

∴点对应点的坐标为，点对应点的坐标为.

设的解析式为将代入得： 解得

的解析式为

直线总经过一定点M，

∴定点M为，

①经过定点与轴平行的直线： 与抛物线总有一个公共点．

②将与联立得： 整理得：

∵过定点M的直线与抛物线只有一个公共点，

解得

∴过定点M的直线的解析式为 或，

综上所述，过定点M，共有三条直线l： 或 或，它们分别与抛物线只有一个公共点．

（3）以平移后抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系，则直线和抛物线在新坐标系的解析式为 与

将与联立，解得： 或

∴点和点在新坐标系内的坐标分别为