Question

如图，点O是等边内一点，，以OB为边作等边三角形，连接CD．

求证：≌；

当时，试判断的形状，并说明理由；

探究：当为多少度时，是等腰三角形？直接写结论

Answer

（1）见解析；（2）直角三角形；理由见解析；（3）当为、、时，是等腰三角形．

【解析】

（1）利用等边三角形的性质证明△ABO≌△CBD即可；

（2）是直角三角形；利用△BAO≌△BCD，得到∠BDC＝∠AOB＝150°，再求出∠CDO=90°即可解答．

（3）分三种情况讨论：①CO＝CD，②OC＝OD，③OD＝CD，分别求解即可．

（1）∵△ABC和△OBD都是等边三角形，∴BA＝BC，BO＝BD，∠ABC＝∠OBD＝60°，∴∠ABC﹣∠OBC＝∠OBD﹣∠OBC，即∠ABO＝∠CBD．

在△ABO和△CBD中，∵，∴△ABO≌△CBD（SAS）．

（2）直角三角形．理由如下：∵△BAO≌△BCD，∴∠BDC＝∠AOB＝150°．

又∵∠ODB＝∠OBD＝60°，∴∠CDO＝150°﹣60°＝90°，∴△COD是直角三角形．

（3）①要使CO＝CD，需∠COD＝∠CDO，∴200°﹣α＝α﹣60°，∴α＝130°；

②要使OC＝OD，需∠OCD＝∠CDO，∴2（α﹣60°）＝180°﹣（200°﹣α），∴α＝100°；

③要使OD＝CD，需∠OCD＝∠COD，∴2（200°﹣α）＝180°﹣（α﹣60°），∴α＝160°．

所以当α为100°、130°、160°时，△COD是等腰三角形．