Question

如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．

（1）求证：△MBA≌△NDC；

（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）四边形MPNQ是菱形．

【解析】

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，

∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，

∴AM=AD，CN=BC，

∴AM=CN，

在△MAB≌△NDC，

∵，

∴△MAB≌△NDC；

（2）四边形MPNQ是菱形，

理由如下：连接AN，

易证：△ABN≌△BAM，

∴AN=BM，

∵△MAB≌△NDC，

∴BM=DN，

∵P、Q分别是BM、DN的中点，

∴PM=NQ，

∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，

∴△MQD≌△NPB．

∴四边形MPNQ是平行四边形，

∵M是AB中点，Q是DN中点，

∴MQ=AN，

∴MQ=BM，

∴MP=BM，

∴MP=MQ，

∴四边形MQNP是菱形．

（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；

（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．