Question

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；

（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；

（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值．

Answer

(1) y=﹣x+3;(2)m=2;(3)

【解析】

试题

（1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c列出方程组求得b、c的值即可得到抛物线的解析式，在所得抛物线的解析式中，由y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得B的坐标；有B、C的坐标用“待定系数法”可求得直线BC的解析式；

（2）由△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形可得，CM∥x轴，由点C的坐标（0，3）可得点M的纵坐标为3，把y=3代入抛物线的解析式解得x的值即可得到m的值；

（3）由已知把M、N的坐标用含“m”的代数式表达出来，进一步表达出MN的长，根据题意可得MN=OC=3即可列出关于“m”的方程，解方程即可求得m的值.

试题解析：

（1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得，解得 ，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，

∴点B的坐标（3，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得，解得： ，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

（2）∵△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形，

∴CM∥x轴，即点M的纵坐标为3，

把y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x=0或2，

∵点M不能与点C重合，

∴点P的横坐标为m=2．

（3）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，P的横坐标为m

∴M（m，﹣m2+2m+3），

∵直线BC的解析式为y=﹣x+3．

∴N（m，﹣m+3），

∵以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形，

∴MN=OC=3，

∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，化简得m2﹣3m+3=0，无解，

或（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）=3，化简得m2﹣3m﹣3=0，

解得m=，

∴当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，m的值为．