Question

知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．

如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．

(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）

(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？

(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．

Answer

（1）AD=4-0.5x；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题（1）直接根据AD=AC-CD求解；（2）设x秒时，△ADE为直角三角形，分别用含x的式子表示出AD和AE，再根据Rt△ADE中30°角所对的直角边等于斜边的一半得出x的方程，求解即可；（3）作DG∥AB交BC于点G，证△DGP≌△EBP便可得.

【解析】
（1）由AC=4，CD=0.5x，得AD=AC-CD=4-0.5x；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=4cm，∠A=∠ABC=∠C=60°．

设x秒时，△ADE为直角三角形，

∴∠ADE=90°，CD=0.5x，BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，

∴∠AED=30°，∴AE=2AD，

∴4+0.5x=2（4-0.5x），∴x=.

答：运动秒后，△ADE为直角三角形；

（3）作DG∥AB交BC于点G，

∴∠GDP=∠BEP，∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠ABC=60°，

∴∠C=∠CDG=∠CGD，

∴△CDG是等边三角形，∴DG=DC，

∵DC=BE，∴DG=BE．

在△DEP和△EBP中，∠GDP＝BEP，∠DPG＝∠EPB，DG＝EB，

∴△DGP≌△EBP，∴DP=PE．

∴在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．