Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D为AH上的一点，且DH=HC，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．

（1）请补全图形；

（2）直接写出BD与AC的数量关系和位置关系；

（3）求证：∠BEH=45°．

Answer

（1）见解析；（2）BD=AC，BD⊥AC；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意直接补全图形；

（2）先判断出△ABH为等腰直角三角形，进而得出△AHC≌△BHD，最后用对顶角和等量代换即可得出∠ADE+∠DAE=90°，结论得证；

（3）先利用同角或等角的余角相等得出结论即可判断出△AHE≌△BHF，即可得出EH=FH，结论得证．

（1）补全图形如图1所示；

（2）BD=AC ；BD⊥AC；

（3）∵AH⊥BC于点H，∠ABC＝45°，

∴△ABH为等腰直角三角形，

∴AH＝BH，∠BAH＝45°，

在△AHC和△BHD中

，

∴△AHC≌△BHD，

∴∠1=∠2，

如图2，过点H作HF⊥HE交BE于点F，

∴∠FHE=90°

即∠4+∠5=90°

又∵∠3+∠5=∠AHB=90°

∴∠3=∠4

在△AHE和△BHF中，

∴△AHE≌△BHF

∴EH=FH

∵∠FHE=90°

∴△FHE是等腰直角三角形

∴∠BEH=45°