Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＞0，m≠0）的图象交于点C，与x轴、y轴分别交于点D、B，已知OB＝3，点C的横坐标为4，cos∠0BD＝

（1）求一次函数及反比例函数的表达式；

（2）将一次函数图象向下平移，使其经过原点O，与反比例函数图象在第四象限内的交点为A，连接AC，求四边形OACB的面积．

Answer

（1）y=-x+3，；（2）9.

【解析】

（1）根据三角函数可求出OD的长，把B、D两点坐标代入一次函数y=kx+b可得到一次函数的解析式，把C点的横坐标代入可求出C点坐标，代入反比例函数可得到反比例函数的解析式；（2）根据平移后解析式的k不变可得直线OA的解析式，利用反比例函数的解析式可求出A点坐标，即可求出OA的长，根据B、C的坐标可求出BC的长，过O作OE⊥BC，利用三角函数可求出OE的长，根据梯形面积公式求出四边形OACB的面积即可.

（1）∵cos∠OBD=，OB=3，

∴∠OBD=45°，OD=OB=3，

∴，

解得：，

∴一次函数的解析式为：y=-x+3，

把C点横坐标代入得：y=-4+3=-1，

∴C点坐标为（4，-1），

∵C点在反比例函数图像上，

∴-1=，解得：m=-4，

∴反比例函数的解析式为：y=-.

（2）∵一次函数图象向下平移,使其经过原点O，

∴平移后直线OA的解析式为：y=-x，

把y=-x代入反比例函数得：-x=-，

解得：x1=2，x2=-2，

∵A点在第四象限，

∴x=2，

把x=2代入y=-x得y=-2，

∴A点坐标为（2，-2）

∴OA=2，

过O作OE⊥BC于E，

∵OB=3，∠OBE=45°，

∴OE=3sin45°=，

∵B点坐标（0，3），C点坐标（4，-1）

∴BC==4，

∵OA//BC，

∴四边形OACB是梯形，

∴SOACB=（2+4） =9.