Question

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，E、M分别为AB、AC上的点，连接CE，BM交于点G，且BM⊥CE，O为AC的中点，连接BO交CE于点N．

（1）如图①，若AB＝6，2MO＝AM，求BM的长；

（2）如图②，连接OG、AG，若AG⊥OG，求证：AC＝BG．

Answer

（1）2；（2）详见解析.

【解析】

（1）由等腰三角形底边中线是底边的高可知OB⊥AC，根据等腰直角三角形可求出OB=OC=OA=3，根据2MO=AM即可求出OM的长，根据勾股定理求出BM的长即可.（2）过O作OF//AG交CG于F，则∠COF=∠OGA=90°，即可证明∠COF=∠GOB，由O是AC中点可知CF=FG，通过证明△COF≌△OBG即可证明CF=GF=BG，根据勾股定理可求出AC=BG.

（1）∵OB是Rt△ABC斜边中线，

∴OB=OC=OA，

∵AB=BC=6，

∴OB⊥BC，AC==6，

∴OB=OA=3，

∵2MO=AM，

∴OM=，

∴BM==2，

（2）过点O作OF//AG交CG于F，

∵OF//AG，O为AC中点，AG⊥OG

∴CF=FG，∠FOG=∠AOG=90°，

∵∠COF+∠FOB=90°，∠GOB+∠FOB=90°，

∴∠COF=∠GOB，

∵∠OCF+∠CON=90°，∠OBG++∠BNG=90°，∠CON=∠BNG，

∴∠OCF=∠OBG，

在△OCF和△OBG中，

∴△OCF≌△OBG，

∴BG=CF=FG，

在Rt△CBG中，BC==BG，

在Rt△ABC中，AC=BC=BG.