Question

如图①,已知抛物线与轴交于A和B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C.顶点为D.

(1)求出点A,B,D的坐标

(2)如图①,若线段OB在x轴上移动,点O,B移动后的对应点为O´,B´.首尾顺次连接点O´、B´、D、C构成四边形O´B´DC,当四边形O´B´DC的周长有最小值时,在第四象限的抛物线上找一点P,使得△PO´C的面积最大,求出此时点P的坐标:

(3)如图②,若点M是抛物线上一点,点N在y轴上,连接CM、MN.是否存在一点N,使△CMN为等腰直角三角形,若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,说明理由.

Answer

（1）A（﹣2，0），B（4，0），D（1，﹣）；（2）P（，﹣）；（3）当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，点N的坐标为（0，）、（0，）、（0，﹣）或（0，﹣）．

【解析】

（1）令y=0，列方程可以求出点A、B坐标，通过配方法可以求出顶点D坐标；（2）作C(0，-3)关于x轴的对称点C′(0，3)，把C’向右平移4个单位得到C″（4，3），连接DC″，交x轴于B′，把B′向左平移4个单位得到O′，连接CO′、O′C′、C′C″，则四边形O′B′DC周长取最小值，根据C″、D的坐标可求出直线DC″的解析式，即可求出B′点的坐标，进而求出O′点的坐标，设P点坐标为（n，），根据S△PO′C=S△OO′C+S△POC-S△POO′即可求出△PO′C面积的函数表达式，根据二次函数的性质求出最大值时n的值即可求出P点坐标；（3）分情况讨论，当MN为直角边时，根据∠MCN=45°可确定直线CM的解析式，求出直线与抛物线的交点M的坐标进而求出N点坐标即可；当MN为斜边时，根据CM//x轴可求出M点坐标，进而求出N点坐标即可.

（1）令y=0，则x2-x-3=0，解得x=-2或4，

∴点A坐标（-2，0），点B坐标（4，0）．

∵y=x2-x-3=（x-1）2-，

∴顶点D（1，-）.

（2）如图1：作C(0，-3)关于x轴的对称点C′(0，3)，把C’向右平移4个单位得到C″（4，3），连接DC″，交x轴于B′，把B′向左平移4个单位得到O′，连接CO′、O′C′、C′C″，则四边形O′B′DC周长取最小值，

设直线DC″的解析式为y=kx+b(k≠0)，

∵D（1，-），C″（4，3），

∴，解得：

∴直线DC″的解析式为y=x- ，

当y=0时，x=，

∴B′坐标为（，0），

∴O′坐标为（，0）

设P点坐标为（n，），连接PO、PO′，

则S△PO′C=S△OO′C+S△POC-S△POO′= +-

=-n2+n+

=-（n-）2+，

∴当n=时△PO′C的面积取最大值，

∴=，

∴P点坐标为（，），

（3）①如图2：当MN为直角边时，∠MCN=45°，

∴直线CM的解析式为y=x-3或y=-x-3，

联立y=x-3与抛物线的解析式得 ，解得（舍去）或，

∴M点坐标为（ ，）

∵△CMN是等腰直角三角形，C（0，-3），

∴N点坐标为（0，）或（0，），

联立y=-x-3与抛物线解析式得，解得 或（舍去），

∴N点的坐标为（，），

∵△CMN是等腰直角三角形，C（0，-3）

∴N点坐标为：（0，）或（0，）

②如图：当MN为斜边时，此时MN//x轴，设M点坐标为（m，-3），

∴，解得：m1=0（舍去），m2=2，

∴M点坐标为（2，-3）

∵三角形CMN是等腰直角三角形，C（0，-3），

∴N点坐标为（0，-1）或（0，-5），

综上所述：△CMN为等腰直角三角形时，N点坐标为（0，）或（0，）或（0，）或（0，）或（0，-1）或（0，-5）.