Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧AC中点，BD交AC于点E．

（1）求证：AD²=DE•DB；

（2）若BC=13，CD=5，求DE的长． 

Answer

【解析】

（1）由D是劣弧AC的中点，可得∠DAC=∠ABD，即可证明△ABD∽△AED，根据相似三角形的对应边成比例即可得出答案；

（2）由D是劣弧AC中点，可得AD=CD＝5，根据CB是直径，可得△BCD是直角三角形，由勾股定理求出BD的长，代入（1）中的AD2=DE•DB即可求出DE的长．

（1）证明：∵D是劣弧AC的中点，

∴AD=DC，

∴∠ABD=∠DAC，

又∵∠ADB=∠EDA，

∴△ABD∽△EAD，

∴AD：DE=DB：AD，

∴AD2=DE⋅DB；

（2）∵D是劣弧AC的中点，

∴AD=DC=5，

∵CB是直径，

∴△BCD是直角三角形，

∴BD=；

∵AD2=DE⋅DB，

∴52=12×DE，

解得DE=.