Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），OB=OA，且∠AOB=120°．

（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； 

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△OBC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； 

（3）若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M、N使得A、O、M、N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）（－1，）；（3） M1（－1，－），M2（－3，），M3（1，）．

【解析】

（1）先确定出点B坐标，再用待定系数法即可；

（2）先判断出使△BOC的周长最小的点C的位置，再求解即可；

（3）分OA为对角线、为边这两种情况进行讨论计算即可得出答案．

(1)如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D,

∵点A的坐标为（-2，0），OB=OA，

∴OB=OA=2，

∵∠AOB=120°，

∴∠BOD=60°，

在Rt△OBD中,∠ODB=90°，

∴∠OBD=30°，

∴OD=1,DB=，

∴点B的坐标是(1, )，

设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

由已知可得：

，

解得：

∴所求抛物线解析式为；

(2)存在.

如图所示，

∵△BOC的周长=OB+BC+CO，

又∵OB=2，

∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，

∵点O和点A关于对称轴对称，

∴连接AB与对称轴的交点即为点C，

由对称可知，OC=OA，

此时△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+AC；

点C为直线AB与抛物线对称轴的交点，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

将点A(−2,0),B(1,)分别代入，得：

，

解得：，

∴直线AB的解析式为y=x+，

当x=−1时,y=，

∴所求点C的坐标为(−1,)；

(3)如图所示，

①当以OA为对角线时，

∵OA与MN互相垂直且平分，

∴点M1(−1,−)，

②当以OA为边时，

∵OA=MN且OA∥MN，

即MN=2,MN∥x轴，

设N(−1,t)，

则M(−3,t)或(1,t)

将M点坐标代入，

解得，t=，

∴M2(−3,)，M3 (1,)

综上：点M的坐标为：（－1，－），或（－3，）或（1，）．