Question

如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ABC＝30°，AC 的延长线与过点 B 的⊙O 的切线相交于点 D，若⊙O 的半径 OC＝1，BD∥OC，则 CD 的长为（    ）

A. 1+    B.     C.     D.

Answer

B

【解析】

作辅助线OB、CE构建正方形CEBO．根据圆周角定理（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）求得∠OAC=2∠ABC=60°，然后由切线的性质及平行线的性质求得OB⊥OC，OB⊥BD；再根据圆的半径都相等知OB=OC，所以判定四边形CEBO是正方形，然后在直角三角形CDE中利用正弦三角函数sin∠D=sin60°求CD的长度并作出选择．

连接OB，过点C作CE⊥BD于点E，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOC=60°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；

∵OA=OC（⊙O的半径），

∴∠ACO=∠OAC=60°（等边对等角），

又BD∥OC，

∴∠ACO=∠D=60°（两直线平行，同位角相等），

∴∠OCD=120°（两直线平行，同旁内角互补），

∵BD是⊙O的切线，

∴OB⊥OC，OB⊥BD，

又∵OB=OC，

∴四边形CEBO是正方形，

∴CE=OB=1，

∴CD==，

故选：B．