Question

如图，已知△ABC 中，AB 为半圆 O 的直径，AC、BC 分别交半圆 O 于点 E、D，且 BD＝DE．

(1)求证：点 D 是 BC 的中点．

(2)若点 E 是 AC 的中点，判断△ABC 的形状，并说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）△ABC是等边三角形．

【解析】

（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ADC=90°，证明△BAD≌△CAD，根据全等三角形的性质证明；

（2）根据直角三角形的性质得到DE=AE=EC，得到CA=CB，根据等边三角形的判定定理证明．

（1）连接AD，

∵AB为半圆O的直径，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵BD=DE，

∴，

∴∠BAD=∠CAD，

在△BAD和△CAD中，，

∴△BAD≌△CAD（ASA），

∴BD=DC，即点D是BC的中点；

（2）∵△BAD≌△CAD，

∴AB=AC，

∵∠ADC=90°，点E是AC的中点，

∴DE=AE=EC，

由（1）得，DE=BD=DC，

∴CA=CB，

∴CA=CB=AB，

∴△ABC是等边三角形．