Question

已知一元二次方程x²﹣4x+3=0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y=﹣x²+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？

（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标．

Answer

（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）﹣3＜x＜0；（3）（﹣1，0）．

【解析】

（1）求出方程的解，得到A、B的坐标，代入抛物线得到方程组，求出方程组的解即可；

（2）求出C的坐标，根据B、C的坐标求出即可；

（3）设直线BC交PE于F，P点坐标为（a，0），则E点坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），根据三角形的面积求出F的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出直线BC，把F的坐标代入求出即可．

（1）∵x2﹣4x+3=0的两个根为 x1=1，x2=3，∴A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（0，3）．

又∵抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，3）两点，∴，得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．

（2）作直线BC，由（1）得：y=﹣x2﹣2x+3．

∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴的另一个交点为C，令﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，∴C点的坐标为（﹣3，0），由图可知：当﹣3＜x＜0时，抛物线的图象在直线BC的上方．

（3）设直线BC交PE于F，P点坐标为（a，0），则E点坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）．

∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，∴F是线段PE的中点（根据等底等高的三角形的面积相等），即F点的坐标是（a，）．

∵直线BC过点B（0.3）和C（﹣3，0），设直线BC的解析式是y=kx+b（k≠0），代入得：，∴，∴直线BC的解析式为y=x+3．

∵点F在直线BC上，∴点F的坐标满足直线BC的解析式，即=a+3，

解得：a1=﹣1，a2=﹣3（此时P点与点C重合，舍去），∴P点的坐标是（﹣1，0）．