Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点B、C都在第一象限内，CA⊥x轴，垂足为点A，反比例函数y₁= 的图象经过点B；反比例函数y₂= 的图象经过点C（，m）． 

（1）求点B的坐标；   

（2）△ABC的内切圆⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，求圆心M的坐标．

Answer

（1）点B的坐标为（2，）．

（2）点M的坐标为（2﹣1，1）．

【解析】

试题（1）先求得点C的坐标，然后根据平行于x轴上点纵坐标相等，可知点B的纵坐标，然后可求得点B的横坐标；

（2）连接MD、ME、MF．由点B和点C的坐标可求得AC、BC的长，依据勾股定理可求得AB的长，然后在△ABC中利用面积法可求得圆M的半径，从而可求得点M的坐标．

试题解析：（1）∵CA⊥x轴，∠ACB=90°，

∴CB∥x轴．

∵将C（，m）代入函数y2=得：n==，

∴点C（，）．

∴点B的纵坐标为．

∵将y1=代入得：=，解得；x=2，

∴点B的坐标为（2，）．

（2）如图所示：连接ME、MD、MF．

∵⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，

∴ME⊥AC，MD⊥BC，MF⊥AB．

∴∠ECD=∠CDM=∠CEM=90°．

∴四边形CDME为矩形．

∵MD=ME，

∴四边形CDME为正方形．

∵在Rt△ACB中，AC=，BC=，

∴AB=2．

∵S△ACB=AC•BC=（AC+BC+AB）•r，

∴⊙M的半径==﹣1．

∴点M的坐标为（2﹣1，1）．