Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，经过A，D两点的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与边BC相切于点E，与x轴交于点M，与y轴相交于另一点G，连接AE．

（1）求证：AE平分∠BAC；

（2）若点A，D的坐标分别为（0，﹣1），（2，0），求⊙F的半径；

（3）求经过三点M，F，D的抛物线的解析式．

Answer

（1）详见解析；（2）⊙F的半径为；（3）y＝﹣x2+．

【解析】

（1）连接FE，先根据切线的性质知∠FEC＝90°，结合∠C＝90°证FE∥AC得∠EAC＝∠FEA，根据FA＝FE知∠FAE＝∠FEA，从而得∠FAE＝∠CAE，即可得证；

（2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据FD2＝（AF﹣AO）2+OD2知r2＝（r﹣1）2+22，解之可得；

（3）根据圆的对称性得出点M的坐标，设抛物线的交点式，将点F坐标代入计算可得．

（1）连接FE，

∵⊙F与边BC相切于点E，

∴∠FEC＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠FEC+∠ACB＝180°，

∴FE∥AC，

∴∠EAC＝∠FEA，

∵FA＝FE，

∴∠FAE＝∠FEA，

∴∠FAE＝∠CAE，

∴AE平分∠BAC；

（2）连接FD，

设⊙F的半径为r，

∵A（0，﹣1），D（2，0），

∴OA＝1，OD＝2，

在Rt△FOD中，FD2＝（AF﹣AO）2+OD2，

∴r2＝（r﹣1）2+22，

解得：r＝，

∴⊙F的半径为；

（3）∵FA＝r＝，OA＝1，FO＝，

∴F（0，），

∵直径AG垂直平分弦MD，点M和点D（2，0）关于y轴对称轴，

∴M（﹣2，0），

设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣2），

将点F（0，）代入，得：﹣4a＝，

解得：a＝﹣，

则抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣2）＝﹣x2+．