Question

如图1，二次函数y＝x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝4，直线1是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求b、c的值；

（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．抛物线上有一点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，请求出点Q到直线PN的距离．

Answer

（1）b＝﹣4，c＝﹣5；（2）点F的坐标为（0，﹣3）；（3）点Q到直线PN的距离为1．

【解析】

（1）CD＝4，则函数对称轴x＝2＝﹣b，即：b＝﹣4，则函数表达式为：y＝x2﹣4x+c，OB＝OC，则点B坐标为（﹣c，0），把点B坐标代入函数表达式，即可求解；

（2）直线BE的表达式为：y＝3x﹣15，把x＝4代入上式得：y＝3×4﹣15＝﹣3，即：点坐标为F′（4，﹣3），即可求解；

（3）S△APM＝×PM×AP，S△PQN＝×PN×d，利用S△PQN＝S△APM，即可求解．

（1）CD＝4，则函数对称轴x＝2＝﹣b，即：b＝﹣4，

则函数表达式为：y＝x2﹣4x+c，OB＝OC，则点B坐标为（﹣c，0），

把点B坐标代入函数表达式，解得：c＝﹣5，

答：b＝﹣4，c＝﹣5；

（2）二次函数表达式为：y＝x2+4x﹣5，

函数对称轴为x＝2，则点E坐标为（2，﹣9），

把点E、B坐标代入一次函数表达式：

y＝mx+n得：，解得：，

则直线BE的表达式为：y＝3x﹣15，

由题意得：点F′的横坐标为4，把x＝4代入上式得：y＝3×4﹣15＝﹣3

即：点坐标为F′（4，﹣3），

∴点F的坐标为（0，﹣3）

（3）设：Q到直线PN的距离为d，点P坐标为（m，0），则点N（m，m2﹣4m﹣5），

直线B、C的表达式为：y＝x﹣5，

则点M（m，m﹣5），

S△APM＝×PM×AP＝（0﹣m+5）（m+1）＝﹣（m2﹣4m﹣5），

S△PQN＝×PN×d＝﹣（m2﹣4m﹣5）d，

∵S△PQN＝S△APM，

∴d＝1，

点Q到直线PN的距离为1．