Question

如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD＝∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）；

（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．

Answer

（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠BDC的平分线DE（以点D为圆心，以任意长为半径画弧，与DB、DC分别交于一点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离一半长为半径画弧，两弧在角的内部交于一点，过点D以及这个交点作射线，交BC于点E）；

（2）先根据角平分线的定义得到∠BDE＝∠CDE，再利用三角形外角性质得∠BDC＝∠A+∠ACD，加上∠ACD＝∠A，则∠BDE＝∠A，然后根据平行线的判定方法可判断DE∥BC．

（1）如图，DE为所作；

（2）DE∥AC．理由如下：

∵DE平分∠BDC，

∴∠BDE＝∠CDE，

而∠BDC＝∠A+∠ACD，

即∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ACD，

∵∠ACD＝∠A，

∴∠BDE＝∠A，

∴DE∥BC．