Question

请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：

（1）如图①如果AB∥CD，求证：∠APC＝∠A+∠C．

证明：过P作PM∥AB，

所以∠A＝∠APM，（　   　）

因为PM∥AB，AB∥CD（已知）

所以PM∥CD（　   　）

所以∠C＝　   　（　   　）

因为∠APC＝∠APM+∠CPM

所以∠APC＝∠A+∠C（　   　）

（2）如图②，AB∥CD，根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C＝　   　．

（3）如图③，AB∥CD，若∠ABP＝x，∠BPQ＝y，∠PQC＝z，∠QCD＝m，则m＝　   　（用x、y、z表示）

Answer

（1）两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠CPM；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）540°；（3）x﹣y+z.

【解析】

（1）根据平行线的性质和判定填

（2）过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥AB，根据平行线的性质可求．

（3）过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥AB，根据平行线的性质可求．

（1）过P作PM∥AB，

所以∠A＝∠APM，（两直线平行，内错角相等），

因为PM∥AB，AB∥CD（已知），

所以PM∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），

所以∠C＝∠CPM（两直线平行，内错角相等），

因为∠APC＝∠APM+∠CPM，

所以∠APC＝∠A+∠C（等量代换），

故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠CPM；两直线平行，内错角相等；等量代换．

（2）如图过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥AB

∵AB∥DC，PE∥AB，QF∥AB，

∴AB∥PE∥QF∥CD，

∴∠A+∠APE＝180°，

∠EPQ+∠PQF＝180°，

∠FQC+∠QCD＝180°，

∴∠A+∠APQ+∠PQC+∠C＝540°，

故答案为：540°；

（3）如图：过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥AB，

∵AB∥DC，PE∥AB，QF∥AB，

∴AB∥PE∥QF∥CD，

∴∠B＝∠BPE，∠BPE＝∠PQF，∠FQC＝∠C，

∴∠B+∠PQC＝∠C+∠BPQ，

即x+z＝m+y，

m＝x﹣y+z，

故答案为x﹣y+z.