Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。

Answer

（1）（2）见解析（3）

【解析】解：（1）。

（2）△ABE为等边三角形。证明如下：

连接AD，CD，ED，

∵线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD，

∴BC=BD，∠DBC=60°。

又∵∠ABE=60°，

∴且△BCD为等边三角形。

在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，AD=AD，BD=CD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）。∴。

∵∠BCE=150°，∴。∴。

在△ABD和△EBC中，∵，，BC=BD，

∴△ABD≌△EBC（AAS）。∴AB=BE。

∴△ABE为等边三角形。

（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴。

又∵∠DEC=45°，∴△DCE为等腰直角三角形。

∴DC=CE=BC。

∵∠BCE=150°，∴。

而。∴。

（1）∵AB=AC，∠BAC=，∴ 。

∵将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴。

∴。

（2）由SSS证明△ABD≌△ACD，由AAS证明△ABD≌△EBC，即可根据有一个角等于的等腰三角

形是等边三角形的判定得出结论。

（3）通过证明△DCE为等腰直角三角形得出，由（1），从

而，解之即可。