Question

如图1，Rt△ABC≌Rt△DFE，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF．

(1)若两个三角形按图2方式放置，AC、DF交于点O，连接AD、BO，则AF与CD的数量关系为　   　，BO与AD的位置关系为　   　；

(2)若两个三角形按图3方式放置，其中C、B(D)、F在一条直线上，连接AE，M为AE中点，连接FM、CM．探究线段FM与CM之间的关系，并证明；

(3)若两个三角形按图4方式放置，其中B、C(D)、F在一条直线上，点G、H分别为FC、AC的中点，连接GH、BE交于点K，求证：BK＝EK．

Answer

(1)AF＝CD， BO⊥AD；(2)FM＝MC，FM⊥CM，理由见解析；(3)证明见解析.

【解析】

（1）利用全等三角形的性质，线段的垂直平分线的判定定理即可解决问题；

（2）结论：FM＝MC，FM⊥CM．如图3中，延长FM交CA的延长线于H．想办法证明△FCH是等腰直角三角形，FM＝MH即可解决问题；

（3）如图4中，连接BH，EG，在HG上取一点J，使得BJ＝BH．想办法证明△BKJ≌△EKG即可解决问题；

(1)如图2中，

∵Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，

∴AB＝BD，BC＝BF，

∴AF＝CD，

∵∠AFO＝∠DCO＝90°，∠AOF＝∠DOC，

∴△AOF≌△DOC(AAS)，

∴OA＝OC，∵BA＝BD，

∴BO垂直平分线段AD．

∴BO⊥AD，

故答案为：AF＝CD，BO⊥AD．

(2)结论：FM＝MC，FM⊥CM．

理由：如图3中，延长FM交CA的延长线于H．

∵∠ACB+∠EFC＝180°，B，F，C共线，

∴EF∥CH，

∴∠EFM＝∠H，

∵EM＝MA，∠EMF＝∠AMH，

∴△EFM≌△AHM(AAS)，

∴FM＝MH，EF＝AH，

∵∠FCH＝90°，

∴CM＝FM＝MH，

即FM＝MC，

∵△Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，

∴BF＝AC，EF＝BC，

∴BA＝AH，

∴FC＝CH，

∵FM＝MH，

∴CM⊥FM．

(3)如图4中，连接BH，EG，在HG上取一点J，使得BJ＝BH．

∵Rt△ABC≌Rt△DFE(已知)，

∴BC＝EF，AC＝CF，

∵CH＝AH，CG＝GF，

∴CH＝FG，

∵∠BCH＝∠F＝90°，

∴△BCH≌△EFG(SAS)，

∴∠CBH＝∠FEG，

∵CH＝CG，∠GCH＝90°，

∴∠CGH＝∠CHG＝45°，

∴∠BHG＝180°﹣45°﹣∠GBH＝135°﹣∠GBH，

∵∠CGE＝∠CGH+∠HGE＝90°+∠GEF，

∴∠HGE＝45°+∠GEF，

∴∠HGE+∠BHG＝180°，

∵∠BJK+∠BJH＝180°，∠BJH＝∠BHJ，

∴∠BJK＝∠HGE，

∵GE＝BH＝BJ，∠BKJ＝∠GKE，

∴△BKJ≌△EKG(AAS)，

∴BJ＝GE．