Question

如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；③DE²=2CF•CA；④若AB=3，AD=2BD，则AF=．其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号）

Answer

①②③

【解析】

先判断出∠BCD=∠ACE，即可判断出①正确；

先求出∠BDC=110°，进而得出∠AEC=110°，即可判断出②正确；

先判断出∠CAE=∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，即可得出CE2=CF•AC，最后用勾股定理即可得出③正确；

先求出BC=AC=3，再求出BD=，进而求出CE=CD=，求出CF=，即可判断出④错误．

∵∠ACB=90°，

由旋转知，CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE，故①正确；

∵∠ACB=90°，BC=AC，

∴∠B=45°

∵∠BCD=25°，

∴∠BDC=180°-45°-25°=110°，

∵△BCD≌△ACE，

∴∠AEC=∠BDC=110°，

∵∠DCE=90°，CD=CE，

∴∠CED=45°，

则∠AED=∠AEC-∠CED=65°，故②正确；

∵△BCD≌△ACE，

∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF，

∵∠ECF=∠ACE，

∴△CEF∽△CAE，

∴ ，

∴CE2=CF•AC，

在等腰直角三角形CDE中，DE2=2CE2=2CF•AC，故③正确；

如图，过点D作DG⊥BC于G，

∵AB=3，

∴AC=BC=3，

∵AD=2BD，

∴BD=AB=，

∴DG=BG=1，

∴CG=BC-BG=3-1=2，

在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=，

∵△BCD≌△ACE，

∴CE=，

∵CE2=CF•AC，

∴CF=，

∴AF=AC-CF=3-=，故④错误，

故答案为：①②③．