Question

如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CE，CD，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．

（1）求证：∠BCD=∠BEC；

（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sin∠ABF的值．

Answer

（1）见解析；（2）CE=， sin∠ABF=.

【解析】

（1）先利用等角的余角相等即可得出结论；

（2）先判断出△BDC∽△BCE得出比例式求出BE=4，DE=3，利用勾股定理求出CD，CE，再判断出△AFM∽△BAC，进而判断出四边形FNCA是矩形，求出FN，NC，即：BN，再用勾股定理求出BF，即可得出结论．

（1）∵∠ACB=90°，

∴∠BCD+∠ACD=90°，

∵DE是⊙A的直径，

∴∠DCE=90°，

∴∠BEC+∠CDE=90°，

∵AD=AC，

∴∠CDE=∠ACD，

∴∠BCD=∠BEC，

（2）∵∠BCD=∠BEC，∠EBC=∠EBC，

∴△BDC∽△BCE，

∴，

∵BC=2，BD=1，

∴BE=4，EC=2CD，

∴DE=BE﹣BD=3，

在Rt△DCE中，DE2=CD2+CE2=9，

∴CD=，CE=，

过点F作FM⊥AB于M，

∵∠FAB=∠ABC，∠FMA=∠ACB=90°，

∴△AFM∽△BAC，

∴，

∵DE=3，

∴AD=AF=AC=，AB=，

∴FM=，

过点F作FN⊥BC于N，

∴∠FNC=90°，

∵∠FAB=∠ABC，

∴FA∥BC，

∴∠FAC=∠ACB=90°，

∴四边形FNCA是矩形，

∴FN=AC=，NC=AF=，

∴BN=，

在Rt△FBN中，BF=，

在Rt△FBM中，sin∠ABF=.