Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．

（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；

（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；

（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．

①求 的值；

②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．

Answer

（1）AE=；（2）BG=；（3）①；②相似，理由见解析.

【解析】

（1）先求出BD，进而求出OD=OB=OA，再判断出△ODE∽△ADO，即可得出结论；

（2）先判断出△AEF≌△DCE，进而求出BF=1，再判断出△CHG∽△CBF，进而求出BK=GK=，最后用勾股定理即可得出结论；

（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根据勾股定理求出DH=，CH=，再判断出△EMN∽△EHD，得出，△ED'M∽△ECH，得出，进而得出，即可得出结论；

②先判断出∠MD'H=∠NED'，进而判断出∠MD'H=∠ECB，即可得出，即可．

（1）如图1，连接OA，

在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°

在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD=，

∵O是BD中点，

∴OD=OB=OA=，

∴∠OAD=∠ODA，

∵OE=DE，

∴∠EOD=∠ODE，

∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，

∴△ODE∽△ADO，

∴，

∴DO2=DE•DA，

∴设AE=x，

∴DE=5﹣x，

∴（）2=5（5﹣x），

∴x=，

即：AE=；

（2）如图2，

在矩形ABCD中，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC=45°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AE=AB=3，

∴AE=CD=3，

∵EF⊥EC，

∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠CED=90°，

∵∠A=90°，

∴∠AEF+∠AFE=90°，

∴∠CED=∠AFE，

∵∠D=∠A=90°，

∴△AEF≌△DCE，

∴AF=DE=2，

∴BF=AB﹣AF=1，

过点G作GK⊥BC于K，

∴∠EBC=∠BGK=45°，

∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，

∵∠KCG=∠BCF，

∴△CHG∽△CBF，

∴，

设BK=GK=y，

∴CK=5﹣y，

∴y=，

∴BK=GK=，

在Rt△GKB中，BG=；

（3）①在矩形ABCD中，∠D=90°，

∵AE=1，AD=5，

∴DE=4，

∵DC=3，

∴EC=5，

由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°，

∴D'C=1，

设D'H=DH=z，

∴HC=3﹣z，

根据勾股定理得，（3﹣z）2=1+z2，

∴z=，

∴DH=，CH=，

∵D'N⊥AD，

∴∠AND'=∠D=90°，

∴D'N∥DC，

∴△EMN∽△EHD，

∴，

∵D'N∥DC，

∴∠ED'M=∠ECH，

∵∠MED'=∠HEC，

∴△ED'M∽△ECH，

∴，

∴，

∴，

∴；

②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，

∴∠MD'H+∠ED'N=90°，

∵∠END'=90°，

∴∠ED'N+∠NED'=90°，

∴∠MD'H=∠NED'，

∵D'N∥DC，

∴∠EHD=∠D'MH，

∴∠EHD'=∠D'MH，

∴D'M=D'H，

∵AD∥BC，

∴∠NED'=∠ECB，

∴∠MD'H=∠ECB，

∵CE=CB=5，

∴

∴△D'MH∽△CBE．