Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．

（1）求直线l的解析式；

（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；

（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=；（2）DE=；（3）存在点P（，），使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，理由见解析.

【解析】

（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l的函数解析式；

（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；

（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．

（1）∵抛物线y=x2+x-2，

∴当y=0时，得x1=1，x2=-4，当x=0时，y=-2，

∵抛物线y=x2+x-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

∴点A的坐标为（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2），

∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y=kx+b，

，得，

即直线l的函数解析式为y=−x−2；

（2）直线ED与x轴交于点F，如图1所示，

由（1）可得，

AO=4，OC=2，∠AOC=90°，

∴AC=2，

∴OD=，

∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD=∠CAO，

∴△AOD∽△ACO，

∴，

即，得AD=，

∵EF⊥x轴，∠ADC=90°，

∴EF∥OC，

∴△ADF∽△ACO，

∴，

解得，AF=，DF=，

∴OF=4-=，

∴m=-，

当m=-时，y=×（−）2+×（-）-2=-，

∴EF=，

∴DE=EF-FD=−＝；

（3）存在点P，使∠BAP=∠BCO-∠BAG，

理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如图2所示，

∵点A（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2），

∴OA=4，OB=1，OC=2，

∴tan∠OAC=，tan∠OCB=，AC=2，

∴∠OAC=∠OCB，

∵∠BAP=∠BCO-∠BAG，∠GAM=∠OAC-∠BAG，

∴∠BAP=∠GAM，

∵点G（0，-1），AC=2，OA=4，

∴OG=1，GC=1，

∴AG=，，即，

解得，GM=，

∴AM==，

∴tan∠GAM=，

∴tan∠PAN=，

设点P的坐标为（n，n2+n-2），

∴AN=4+n，PN=n2+n-2，

∴，

解得，n1=，n2=-4（舍去），

当n=时，n2+n-2=，

∴点P的坐标为（，），

即存在点P（，），使∠BAP=∠BCO-∠BAG．