Question

如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，

（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．

（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．

Answer

（1）结论：EC＝BF，EC⊥BF．理由详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）先由条件可以得出∠EAC＝∠BAE，再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论；

（2）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF.

（1）结论：EC＝BF，EC⊥BF，

理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠EAB＝∠CAF＝90°，

∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，

∴∠EAC＝∠BAE，

在△EAC和△BAF中，

，

∴△EAC≌△BAF（SAS），

∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF

∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，

∴∠ABF+∠BGM＝90°，

∴∠EMB＝90°，

∴EC⊥BF．

∴EC＝BF，EC⊥BF；

（2）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，

∵△EAC≌△BAF，

∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）

∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，

∴AM平分∠EMF．