Question

如图（1）AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，x＝2，t＝1或x＝3，t＝2

【解析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；

（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．

（1）△ACP≌△BPQ，

∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴∠A＝∠B＝90°，

∵AP＝BQ＝2，

∴BP＝6，

∴BP＝AC，

在△ACP和△BPQ中，

，

∴△ACP≌△BPQ；

（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，

①若△ACP≌△BPQ，

则AC＝BP，AP＝BQ，可得：6＝2﹣8t，2t＝xt

解得：x＝2，t＝1；

②若△ACP≌△BQP，

则AC＝BQ，AP＝BP，可得：6＝xt，2t＝8﹣2t

解得：x＝3，t＝2.