Question

如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8．AD和过点B的切线互相垂直，垂足为D．

（1）求证：∠BAD+∠C＝90°；

（2）求线段AD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）6.4

【解析】

（1）连接BO延长交⊙O于E，连接AE，根据切线的性质、结合题意得到AD∥BE，根据平行线的性质、圆周角定理证明；

（2）证明△ABE∽△DAB，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．

（1）连接BO延长交⊙O于E，连接AE，

∵DB为⊙O的切线，

∴EB⊥BD，

∵AD⊥BD，

∴AD∥BE，

∴∠BAD＝∠EBA，

∵BE为直径，

∴∠EBA+∠E＝90°，

由圆周角定理得，∠E＝∠C，

∴∠BAD+∠C＝90°；

（2）∵⊙O的半径为5，

∴BE＝10．

∵∠BAD＝∠EBA，∠D＝∠BAE，

∴△ABE∽△DAB，

∴，

∵AB＝8，BE＝10，

∴AD＝6.4，

∴线段AD的长度为6.4．