Question

已知抛物线y＝﹣x²+2kx﹣k²+k+3（k为常数）的顶点纵坐标为4．

（1）求k的值；

（2）设抛物线与直线y＝﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x₁，x₂，n＝x₁+x₂﹣2，若A（1，a），B（b，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，求直线AB的解析式；

（3）将（2）中的直线AB绕点（3，0）顺时针旋转45°，与抛物线x轴上方的部分相交于点C，请直接写出点C的坐标．

Answer

（1）1；（2）；（3）（2，3）．

【解析】

（1）利用配方法即可解决问题；

（2）由题意，方程-x2+2x+3=-(x-3)的两实数根分别为x1，x2，整理得，，推出x1+x2=+2，由n＝x1+x2﹣2，推出n=+2-2=，即动点M（m，n）所形成的曲线为y=，由A（1，a），B（b，）两点在该曲线上，推出A（1，1），B（2，），再利用待定系数法即可解决问题；

（3）由直线AB的解析式为y＝﹣x+，A（1，1），推出点D（3，0）在直线AB上，取点E（2，3），则AE＝AD＝，ED＝，推出AE2+AD2＝ED2，推出∠EAD＝90°，由AE＝AD，推出∠ADE＝45°，可得直线ED的解析式为y＝﹣3x+9，构建方程组即可求出点C坐标.

（1）y＝﹣x2+2kx﹣k2+k+3＝﹣（x﹣k）2+k+3，

∵顶点纵坐标为4，

∴k+3＝4，

∴k＝1；

（2）∵k＝1，

∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，

由题意，方程-x2+2x+3=-(x-3)的两实数根分别为x1，x2，

整理得，，

∴x1+x2=+2，

∵n＝x1+x2﹣2，

∴n=+2-2=，

即动点M（m，n）所形成的曲线为y=，

∵A（1，a），B（b，）两点在该曲线上，

∴A（1，1），B（2，），

设直线AB解析式为y＝k'x+b'，把A（1，1），B（2，）代入得，，

解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+；

（3）如图，

∵直线AB的解析式为y＝﹣x+，A（1，1），

∴点D（3，0）在直线AB上，

取点E（2，3），则AE＝AD＝，ED＝，

∴AE2+AD2＝ED2，

∴∠EAD＝90°，

∵AE＝AD，

∴∠ADE＝45°，

∵设直线DE解析式为y＝k″x+b″，把D（3，0），E（2，3）代入得，，

解得，

∴直线ED的解析式为y＝﹣3x+9，

由，解得或，

∵D（3，0），

∴C（2，3）．