Question

如图①，直线PQ同侧有两点M，N，点T在直线PQ上，若∠MTP＝∠NTQ，则称点T为M，N在直线PQ上的投射点．

（1）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝60°，D为斜边AB的中点，E为AC的中点．求证：点D为C，E在直线AB上的投射点；

（2）如图③，在正方形网格中，已知点A，B，C三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在AC上画出点P，在BC上画出点Q，使A，P在BC上的投射点Q满足CQ＝2BQ；

（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，在AB，BC边上是否分别存在点D，E，使点D为E，C在AB上的投射点，点E为A，D在BC上的投射点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）画图见解析；（3）存在，．

【解析】

（1）先求出∠BDC＝60°，进而判断出∠ADE＝∠B＝60°，即可得出结论；

（2）根据对称性即可作出图形；

（3）根据对称和相似作出图形，再用相似三角形的性质即可得出结论．

（1）∵在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，

∴CD＝BD＝BC，

又∵∠B＝60°，

∴∠BDC＝60°，

∵D，E分别为AB，AC的中点，

∴DE∥AC，

∴∠ADE＝∠B＝60°，

∴∠ADE＝∠BDC，

∴点D为C，E在直线AB上的投射点；

（2）如图③，

作法：

1、在格点上取点G，H，连接HG交BC于Q，（理由：△BQG∽△HQC）

2、作点A关于BC的对称点A'，连接A'Q并延长交AC于P，（∠AQB＝∠A'QB＝∠PQC）

即：点P就是所求作的点；

（3）存在，

如图④，作点C关于AB的对称点C′，连接BC'，AC'，

则四边形ACBC′为正方形，

作点A关于BC的对称点A′，连接A'C'交AB于D，交BC于E，

即：点D，E是所求作的点，

∴C′，D，E，A在同一直线上，

CA′＝CA＝C′A＝C′B＝BC，CD＝C′D，

∴△C′BE≌△A′CE，

∴BE＝BC＝C′A，

∵AC′∥BC，

∴△BDE∽△ADC′，

∴，

∴．