Question

如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：OM=ON．

（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

Answer

（1）见解析；（2）MN =2．

【解析】

（1）证△OAM≌△OBN即可得；

（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2，HM=4，再根据勾股定理得OM=2 ，由直角三角形性质知MN=OM=2．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，

∴∠OAM=∠OBN=135°，

∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，

∴∠AOM=∠BON，

∴△OAM≌△OBN（ASA），

∴OM=ON；

（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，

∵正方形的边长为4，

∴OH=HA=2，

∵E为OM的中点，

∴HM=4，

则OM==2，

∴MN=OM=2．