Question

如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．

（1）求AD的长．

（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．

Answer

（1）AD=2；（2）当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣2．

【解析】

（1）先求出AC，进而求出AE=4，再用勾股定理求出DE即可得出结论；

（2）分三种情况，利用相似三角形得出比例式，即可得出结论

（1）如图1，连接OD，

∵OA=OD=3，BC=2，

∴AC=8，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AE=AC=4，

∴OE=AE﹣OA=1，

在Rt△ODE中，DE= =2 ；

在Rt△ADE中，AD==2；

（2）当DP=DF时，如图2，

点P与A重合，F与C重合，则AP=0；

当DP=PF时，如图4，

∴∠CDP=∠PFD，

∵DE是AC的垂直平分线，∠DPF=∠DAC，

∴∠DPF=∠C，

∵∠PDF=∠CDP，

∴△PDF∽△CDP，

∴∠DFP=∠DPC，

∴∠CDP=∠CPD，

∴CP=CD，

∴AP=AC﹣CP=AC﹣CD=AC﹣AD=8﹣2；

当PF=DF时，如图3，

∴∠FDP=∠FPD，

∵∠DPF=∠DAC=∠C，

∴△DAC∽△PDC，

∴ ，

∴，

∴AP=5，

即：当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣2．