Question

二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b²＞4a，③0＜a+b+c＜2；④0＜b＜1，其中正确的有（　　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

D

【解析】

由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴在y轴右侧得到b＞0，则ab＜0；由抛物线过（0，1）得到c=1，再根据抛物线与x轴的交点个数得到b2-4ac＞0，则b2＞4a；利用抛物线的对称性，由抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），而抛物线的对称轴在y轴右侧得到抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）的右侧，所以当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，加上c=1，a-b+c=0，则b=a+1，原式可计算出a+b+c=2+2a，由a＜0，可判断a+b+c＜2，即0＜a+b+c＜2；把a=b-1代入0＜a+b+c＜2可得0＜b＜1．

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴在y轴右侧，

∴b＞0，

∴ab＜0，所以①正确；

∵抛物线过（0，1），

∴c=1，

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2-4ac＞0，

∴b2-4a＞0，即b2＞4a，所以②正确；

∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），而抛物线的对称轴在y轴右侧，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）的右侧，a-b+c=0，

∴当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，

∵c=1，a-b+c=0，

∴b=a+1，

∴a+b+c=a+a+1+1=2+2a，

而a＜0，

∴a+b+c＜2，

∴0＜a+b+c＜2，所以③正确；

∵a=b-1，

∴0＜b-1+b+1＜2，

∴0＜b＜1，所以④正确；

故选：D．