Question

如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是_____．

Answer

2．

【解析】

根据已知条件易证∠APC＝90°，根据圆周角定理即可得点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，由此求得PB的长即可.

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACP+∠PCB＝90°，

∵∠PAC＝∠PCB

∴∠CAP+∠ACP＝90°，

∴∠APC＝90°，

∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，

在Rt△CBO中，∵∠OCB＝90°，BC＝4，OC＝3，

由勾股定理求得OB＝5，

∴PB＝OB﹣OP＝5﹣3＝2．

∴PB最小值为2．

故答案为：2．