Question

（8分）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）MB=4，MC=2．

【解析】

试题（1）由切线的性质，得到∠MAP=90°，由直角三角形的性质，得到∠P+M=90°，由余角的性质，得到∠M+∠MOB=90°，可得∠MOB=90°，根据切线的判定，可得答案；

（2）根据△OBM∽△APM，可得，根据解方程组，可得答案．

试题解析：（1）∵PA切⊙O于点A，∴∠MAP=90°，∴∠P+M=90°．∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，∵PB经过直径的外端点，∴PB是⊙O的切线；

（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴，∴ ①， ②，解得MB=4，MC=2，∴当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2．