Question

已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．

（1）求证：AB=AC；

（2）若AB=4，BC=，求CD的长．

Answer

（1）证明过程见解析；（2）

【解析】

试题（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，由“三线合一”定理得到BE=CE=BC=，由割线定理可证得结论．

试题解析：（1）∵ED=EC， ∴∠EDC=∠C， ∵∠EDC=∠B， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC；

（2）连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， 由（1）知AB=AC， ∴BE=CE=BC=，

∵CE•CB=CD•CA，AC=AB=4， ∴•2=4CD， ∴CD=．