Question

已知：如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．

(1)求证：CF是⊙O的切线；

(2)若ED=3，EF=5，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）6.

【解析】

（1）连CB、OC，根据切线的性质得∠ABD=90°，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE，于是得到∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线；
（2）CE=BE=DE=3，于是得到CF=CE+EF=4，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：连接，，

∵为⊙O的切线，是⊙O的直径，

∴，.

∴.

∴.

∵为的中点，

∴.

∴.

又∵

∴.

∴.

∴是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵，

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴∽

∴，

∴，

∴，即⊙O的半径为6