Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．

（1）求证：四边形ABCD为矩形； 

（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的长度．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）先求出四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可；
（2）求出DM=AB=6，根据矩形的性质得出CD=AB=6，求出CF，根据勾股定理求出BF即可．

（1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=∠ADC，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）【解析】
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠M，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE．
在△ABE和△DME中

,

∴△ABE≌△DME（AAS），
∴AB=DM=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=DM=6，∠C=90°，
∵F为CD的中点，
∴CF=CD=3，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF=.