Question

如图，已知反比例函数y=（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．

（1）求出反比例函数解析式；

（2）求证：△ACB∽△NOM．

（3）延长线段AB，交x轴于点D，若点B恰好为AD的中点，求此时点B的坐标.

     

Answer

（1）（2）详见解析；（3）B（2,2）

【解析】

(1)将点A的坐标代入反比例函数y=（x＞0，k是常数）中，即可求得;

(2)由于∠ACB =∠NOM = 90°，所以要证ΔACB∽ΔNOM，只要即可，由已知分别求出和，证明它们相等即可;

(3)由AM⊥x轴求得AM＝4，由BN//OD可得，点C是AM的中点，则CM＝2，则点B的纵坐标为2，从而求得点B横坐标.

(1)∵反比例函数y=（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），

∴k=xy=4,

∴反比例函数解析式:y=(x>0);

(2) ∵ B（m，n），A（1，4），∴AC = 4–n，BC = m–1，ON = n，OM = 1.
∴=.
∵点B（m，n）在y=上，

∴m= .

∴=m-1.
又∵.

∴.
又∵∠ACB =∠NOM = 90°，

∴ ΔACB∽ΔNOM.

(3) ∵AM⊥x轴,且A（1，4），

∴点C的横坐标1，AM＝4，

∵BN//x轴，点B是AD的中点，

∴点C是AM的中点，

∴CM＝2，即点B的纵坐标为2，

又∵点B在反比例函数y=上，

∴点B纵坐标为2，

∴点B的坐标为（2，2）.