Question

如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

Answer

（1）证明见解析；（2）△AOD是直角三角形．理由见解析；（3）125°，或110°，或140°．

【解析】

试题此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．

试题解析：（1）∵CO=CD，∠OCD=60°，

∴△COD是等边三角形；

（2）当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．

∵△BOC≌△ADC，

∴∠ADC=∠BOC=150°，

又∵△COD是等边三角形，

∴∠ODC=60°，

∴∠ADO=90°，

即△AOD是直角三角形；

（3）①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．

∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，

∴190°-α=α-60°

∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．

∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，

∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，

∴α-60°=50°

∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．

∵190°-α=50°

∴α=140°．

综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．