Question

如图，直线l上有A、B两点，点O是线段AB上的一点，且OA=10cm，OB=5cm．

（1）若点C是线段 AB 的中点，求线段CO的长．

（2）若动点 P、Q 分别从 A、B 同时出发，向右运动，点P的速度为4cm/s，点Q的速度为3cm/s，设运动时间为 x 秒，

①当 x=__________秒时，PQ=1cm；

②若点M从点O以7cm/s的速度与P、Q两点同时向右运动，是否存在常数m，使得4PM+3OQ﹣mOM为定值，若存在请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．

（3）若有两条射线 OC、OD 均从射线OA同时绕点O顺时针方向旋转，OC旋转的速度为6度/秒，OD 旋转的速度为2度/秒.当OC与OD第一次重合时，OC、OD 同时停止旋转，设旋转时间为t秒，当t为何值时，射线 OC⊥OD？

Answer

（1）CO=2.5；（2）①14和16 ；②定值55，理由见解析；（3）t=22.5和67.5

【解析】

（1）先求出线段AB的长，然后根据线段中点的定义解答即可；

（2）①由PQ=1，得到|15-（4x-3x）|=1，解方程即可；

②先表示出PM、OQ、OM的长，代入4PM+3OQ﹣mOM得到55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣mOM为定值，则21-7m=0，解方程即可；

（3）分两种情况讨论，画出图形，根据图形列出方程，解方程即可．

（1）∵OA=10cm，OB=5cm，∴AB=OA+OB=15cm．

∵点C是线段 AB 的中点，∴AC=AB=7.5cm，∴CO=AO-AC=10-7.5=2.5（cm）．

（2）①∵PQ=1，∴|15-（4x-3x）|=1，∴|15-x|=1，∴15-x=±1，解得：x=14或16．

②∵PM=10+7x-4x=10+3x，OQ=5+3x，OM=7x，∴4PM+3OQ﹣mOM=4（10+3x）+3（5+3x）-7mx=55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣mOM为定值，则21-7m=0，解得：m=3，此时定值为55．

（3）分两种情况讨论：①如图1，根据题意得：6t-2t=90，解得：t=22.5；

②如图2，根据题意得：6t+90=360+2t，解得：t=67.5．

综上所述：当t=22.5秒和67.5秒时，射线 OC⊥OD．