Question

如图，平面直角坐标系中，二次函数y=x²﹣2x﹣3的部分图象与x轴交于点A、

B（A在B的左边），与y轴交于点C，连接BC，D为顶点．

（1）求∠OBC的度数；

（2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使△ABQ的面积等于5？如存在，求Q点的坐标，如不存在，说明理由；

（3）点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合），过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．

Answer

（1）∠OBC=45°；（2）点Q的坐标为（，）或（，）；（3）PF的最大值是．

【解析】

（1）由抛物线已知，则可求三角形OBC的各个顶点，易知三角形形状及内角．
（2）因为抛物线已固定，利用设点Q到AB的距离为a以及△ABQ的面积等于5，求出a的值，然后代入二次函数的表达式，即可求出Q点坐标；
（3）PF的长度即为yF-yP．由P、F的横坐标相同，则可直接利用解析式作差．由所得函数为二次函数，则可用二次函数性质讨论最值，解法常规．

（1）∵y=x2-2x-3=（x-3）（x+1），

∴当x=0时，y=-3，当y=0时，x=-1或x=3，

∴点C的坐标为（0，-3），点B（3，0），点A（-1，0），

∴OC=3，OB=3，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵∠BOC=90°，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

即∠OBC=45°；

（2）在x轴下方的抛物线上存在一点Q，使△ABQ的面积等于5，

∵点B（3，0），点A（-1，0），

∴AB=4，

设点Q到AB的距离为a，

∵△ABQ的面积等于5，

∴=5，得a=，

∵点Q在x轴下方，

∴点Q的纵坐标是-，

将y=-代入y=x2-2x-3，得

-=x2-2x-3，

解得，x=，

∴点Q的坐标为（，）或（，）；

（3）

设过点C（0，-3）和点B（3，0）的直线解析式为y=kx+b，

，得，

∴直线BC的函数解析式为y=x-3，

设点P的坐标为（m，m2-2m-3），

将x=m代入y=x-3，得y=m-3，

∴点F的坐标为（m，m-3），

∴PF=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m=-（m-）2+，

∴当m=时，PF取得最大值，此时PF=，

即PF的最大值是．