Question

如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D.

(1)求证：△ABE∽△ADC；

(2)连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据圆周角定理求出，根据相似三角形的判定推出即可；

（2）根据垂径定理求出，根据线段垂直平分线性质得出，，根据菱形的判定推出即可.

证明：(1)∵∠BAC的平分线为AD，

∴∠BAE＝∠CAD，

，

∴△ABE∽△ADC；

(2)∵∠BAD＝∠CAD，

∴＝，

∵OD为半径，

∴DO⊥BC（垂径定理），

∵F为OD的中点，

∴OB＝BD，OC＝CD，

OB＝OC，

∴OB＝BD＝CD＝OC，

∴四边形OBDC是菱形．