Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A（-1，0），点B（3，0），交y轴正半轴于点C，给出下列结论：

①a＝－1, b＝2, c＝3；

②若0＜x＜4，则5a＜y＜－3a；

③对任意实数m，一定有am²＋bm＋a≤0；

④一元二次方程cx²＋bx＋a＝0的两个根为－1和．其中正确的结论是(　　)

A. ①③    B. ②③    C. ②④    D. ③④

Answer

D

【解析】

利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2-2ax-3a，则可对①进行判断；配成顶点式得y=a（x-1）2-4a，计算x=4时，y=a•5•1=5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；根据顶点式，抛物线向下平移-4a个单位，解析式为：y′=ax2+bx+c+4a=ax2+bx-3a+4a=ax2+bx+a≤0，可对③进行判断；由于b=-2a，c=-3a，则方程cx2+bx+a=0化为-3ax2-2ax+a=0，然后解方程可对④进行判断．

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），点B（3，0），

∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），即y=ax2-2ax-3a，

∴b=-2a，c=-3a，

∴a：b：c=-1：2：3，故①错误；

当x=4时，y=a（x+1）（x-3）=a•5•1=5a，y=ax2-2ax-3a=a[（x-1）2-4]=a（x-1）2-4a，

∴当0＜x＜4时，则5a＜y＜-4a，所以②错误；

∵y=ax2-2ax-3a=a[（x-1）2-4]=a（x-1）2-4a，

∴顶点坐标为（1，-4a），

∵抛物线开口向下，c=-3a，

∴抛物线向下平移-4a个单位，则抛物线顶点为（1，0），

∴平移后的解析式为：y′=ax2+bx+c+4a=ax2+bx-3a+4a=ax2+bx+a≤0，故③正确；

∵b=-2a，c=-3a，

∴方程cx2+bx+a=0化为-3ax2-2ax+a=0，

整理得3x2+2x-1=0，解得x1=-1，x2=，所以④正确．

故选D.