Question

如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）请猜想DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）当AB＝4，∠BAC＝45°时，求DE的长．

Answer

（1）与相切；（2）

【解析】

（1）先证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，再利用DE⊥AC得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法可确定DE为⊙O的切线；

（2）作OF⊥AC于F，如图，证明四边形ODEF为矩形得到OF=DE，再证明△OAF为等腰直角三角形得到OF=，从而得到DE的长．

（1）DE与⊙O相切．理由如下：

连接OD．

∵CD=BD，OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；

（2）作OF⊥AC于F，如图，易得四边形ODEF为矩形，∴OF=DE．

∵∠BAC=45°，∴△OAF为等腰直角三角形，∴OF=OA=，∴DE=．