Question

如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．

（1）如图1，当点Q在DC边上时，探究PB与PQ所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过P点作PE⊥DC于E点，PF⊥BC于F点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE=PF，再证明△PEQ≌△PFB，可得出结论，他的结论应是什么；

（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．

Answer

（1）结论：PB=PQ，理由见解析；（2）猜想：PB=PQ， 证明见解析.

【解析】

(1)过P作PF⊥BC，PE⊥CD，证明Rt△PQE≌Rt△PBF，即可得出结论PB=PQ；

(2)结论是PB=PQ，证明思路同(1).

(1)结论：PB=PQ，

理由：过P作PF⊥BC，PE⊥CD，

∵P，C为正方形对角线AC上的点，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四边形PECF为正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠QPF+∠QPE=90°，

∴∠BPF=∠QPE，

在△PEQ和△PFB中，

∠BPF=∠QPE，PF=PE，∠PFB=∠PEQ，

∴Rt△PQE≌Rt△PBF，

∴PB=PQ；

(2)PB=PQ， 证明如下：

过P作PE⊥BC，PF⊥CD，

∵P，C为正方形对角线AC上的点，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四边形PECF为正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ．