Question

．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在优弧上．

（1）求出A，B两点的坐标；

（2）试确定经过A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；

（3）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1），（2）或（3）存在使线段与互相平分

【解析】

试题（1）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标．

（2）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为（1，3）．然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式．根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式．

（3）如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形．因此PC平行且相等于OD，那么D点在y轴上，且坐标为（0，2）．然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点．

试题解析：（1）如图，作CH⊥AB于点H，连接OA，OB，

∵CH=1，半径CB=2

∴HB=，

故A（1-，0），B（1+，0）．

（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），

设抛物线解析式y=a（x-1）2+3，

把点B（1+，0）代入上式，解得a=-1；

∴y=-x2+2x+2．

（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形

∴PC∥OD且PC=OD．

∵PC∥y轴，

∴点D在y轴上．

又∵PC=2，

∴OD=2，即D（0，2）．

又D（0，2）满足y=-x2+2x+2，

∴点D在抛物线上

∴存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．