Question

如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x²+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x=﹣1与x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）若点Q在第三象限内，且tan∠AQD=2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x2+2x﹣3；（2）存在；点P坐标为（﹣1，）或（-，-）；

（3）存在，CQ最小值为.

【解析】

（1）根据直线y=﹣x﹣1易求得A点坐标，由抛物线的对称性可求得C点坐标，然后写出抛物线的交点式即可；

（2）根据题意可设点P的坐标为（a，﹣a﹣1），分△AOB∽△APD和△AOB∽△APD两种情况，第一种情况直接根据相似三角形对应边成比例即可求得结果，第二种情况先过点P作PE⊥x轴于点E，则△APE∽△PED，再根据相似三角形对应边成比例即可求得结果；

（3）如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣）为圆心，因为tan∠AFD=2，

则连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值，再根据两点之间的距离公式求得CE的长，然后减去圆的半径即可得解.

（1）∵直线y=﹣x﹣1与x轴交于A点，

∴点A坐标为（﹣3，0），

又∵直线x=﹣1为对称轴，

∴点C坐标为（1，0），

∴抛物线解析式为：y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3；

（2）存在；

由已知，点D坐标为（﹣1，0），点B坐标为（0，﹣1），

设点P的坐标为（a，﹣a﹣1），

①当△AOB∽△ADP时，

，即，

解得：a=﹣1；

点P坐标为（﹣1，）；

②当△AOB∽△APD时，

过点P作PE⊥x轴于点E，

则△APE∽△PED，

∴PE2=AE•ED，

∴（﹣a﹣1）2=（a+3）（﹣a﹣1），

解得a1=﹣3（舍去），a2=﹣，

∴点P坐标为（﹣，﹣）；

（3）存在，CQ最小值为；

如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣）为圆心，

∵tan∠AFD=2，

∴弧AFD（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点，

则连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值，

此时CE=，

∵⊙E半径为，

∴CQ最小值为.