Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

（1）用尺规作AB的垂直平分线MN交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）连接AP，如果AP平分∠CAB，求∠B的度数．

Answer

（1）见解析；（2）30°．

【解析】

（1）分别以A、B为圆心，以大于AB一半长为半径画弧，两弧在AB两侧分别有一个交点，过这两个交点作直线即可得；

（2）由线段垂直平分线的性质可得PA=PB，从而得∠B=∠PAB，再根据AP平分∠CAB，可得∠PAB=∠CAB，继而根据直角三角形两锐角互余即可得解.

（1）如图，点P为所作；

（2）∵点P在AB的垂直平分线MN上，

∴PA=PB，

∴∠B=∠PAB，

∵AP平分∠CAB，

∴∠PAB=∠CAB，

∴∠CAB=2∠B，

∵∠CAB+∠B=90°，

即2∠B+∠B=90°，

∴∠B=30°．